第四部分:均值方差分析

4.1 引言

4.1.1 资产定价的关键问题

核心问题:贴现率该如何确定?

贴现率(或要求回报率)是资产定价的核心参数,决定了资产的现值和投资决策。贴现率反映了:

资金的时间价值
投资风险
市场流动性
投资者偏好

贴现率的确定是现代投资理论和资产定价理论的核心议题。

4.1.2 马可维兹的均值—方差分析

历史背景:

1952年,马可维兹发表《投资组合选择》论文 [95†]
核心思想:投资者如果既关心收益(均值),又关心风险(方差)会怎样?
传统思路:根据每道菜自己的色香味等因素来决定是否选择这道菜
新的思路:根据各个菜品可以组成的一整道宴席的口味来决定是否点某道菜

理论革命: 马可维兹的投资组合理论革命性地改变了投资决策方式:

从单个资产到投资组合:不再孤立评估每个资产,而是评估其在投资组合中的作用
风险与收益的权衡:通过分散化降低风险,在给定风险水平下最大化收益
有效边界:所有最优投资组合构成有效边界,投资者根据风险偏好选择
组合优化:数学方法求解最优资产配置权重

理论意义:

从单个资产的"好坏"转向投资组合的"优劣"
考虑资产之间的相关性,通过分散化降低风险
为现代投资理论和资产配置奠定了基础
开创了金融学的数量化、科学化方法

马可维兹的投资组合选择问题:

\begin{matrix} (4.1) & \begin{aligned} max_{w} & E [R_{p}] = w^{T} μ \\ s.t. & Var [R_{p}] = w^{T} Σ w \leq σ^{2} \\ \sum_{i = 1}^{n} w_{i} = 1 \end{aligned} \end{matrix}

其中:

$w$ 是资产权重向量
$μ$ 是资产期望收益向量
$Σ$ 是资产收益协方差矩阵
$E [R_{p}]$ 是投资组合期望收益
$Var [R_{p}]$ 是投资组合收益方差

4.2 对均值和方差的解释

4.2.1 资产回报率的计算

事前回报率与事后回报率:

事前回报率(预期回报率):投资前预期的回报率,不可观测
事后回报率:投资后实际获得的回报率,可观测
风险资产:事前事后回报率不一定相等
无风险资产:事前事后回报率相等

样本均值与总体均值:

样本均值: $\bar{r} = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} r_{i}$
总体均值: $E [R]$
样本均值是总体均值的无偏估计,但存在抽样误差

时间序列数据与横截面数据:

时间序列数据:同一资产在不同时期的数据
横截面数据:不同资产在同一时期的数据
投资组合理论主要使用时间序列数据估计期望收益和方差

4.2.2 风险溢价

风险溢价(risk premium):

风险资产的期望回报率超出无风险资产期望回报率的部分
是对风险资产持有者承担风险的补偿
示例:
- 无风险资产期望回报率:11%
- 风险资产期望回报率:25%
- 风险溢价:25% - 11% = 14%

风险溢价的来源:

时间溢价:投资者偏好当前消费而非未来消费
风险厌恶:投资者厌恶风险,需要补偿才愿意持有风险资产
通胀溢价:弥补购买力下降
违约风险溢价:信用风险补偿
流动性溢价:流动性风险补偿

风险溢价的历史数据:

美国股票市场(1926-2023):股票风险溢价约5-6%年化
中国股票市场(2002-2023):股票风险溢价约7-8%年化
发达市场股票风险溢价相对稳定,新兴市场波动较大

4.2.3 事前回报率与事后回报率的联系

均值—方差分析中的数据使用:

尽管分析所用的数据是过去事后回报率计算出的均值和方差
但我们真正关心的是面向未来的期望回报率的收益和风险
需要小心幸存者偏差:失败的公司往往被排除在样本外

历史数据与未来预期的差异:

历史均值和方差只是对未来真实均值和方差的估计
估计误差随时间衰减,长期预测更准确
市场环境变化时,历史数据预测能力下降

样本量与估计精度:

样本量越大,估计越精确
月度数据需要至少60-120个月(5-10年)才能获得可靠估计
季度或年度数据需要更长时间序列
新兴市场因历史短,估计不确定性更大

4.2.4 均值、方差和标准差的数学描述

统计量计算:

1. 均值(期望回报率):

\bar{r} = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} r_{i}

2. 方差(风险):

σ^{2} = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (r_{i} - \bar{r})^{2}

3. 标准差:

σ = \sqrt{σ^{2}}

4. 协方差:

σ_{x y} = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})

5. 相关系数:

ρ_{x y} = \frac{σ_{x y}}{σ_{x} σ_{y}}

投资组合的均值和方差: 对于由两种资产组成的投资组合,权重分别为 $w$ 和 $1 - w$ :

组合均值:
${\bar{r}}_{p} = w {\bar{r}}_{1} + (1 - w) {\bar{r}}_{2}$
组合方差:
$σ_{p}^{2} = w^{2} σ_{1}^{2} + (1 - w)^{2} σ_{2}^{2} + 2 w (1 - w) σ_{12}$
其中 $σ_{12}$ 是两种资产的协方差

多元正态分布: 马可维兹投资组合理论假设资产收益服从多元正态分布,这完全由均值向量和协方差矩阵决定。虽然实际收益分布存在厚尾和偏度,但正态分布假设在实务中被广泛接受,因其简单且近似有效。

4.3 资产组合的均值方差特性

4.3.1 一种无风险资产和一种风险资产的组合

资产组合定义:

由多种资产组合起来的一个资产集合
记为 $(w_{1}, w_{2}, . . ., w_{n})$ ,其中 $w_{i}$ 是财富分配在第 $i$ 种资产上的比例,且 $\sum_{i} w_{i} = 1$
可以做多、做空或不持有某种资产( $w_{i}$ 可正可负也可为0)

一种无风险资产和一种风险资产的组合:

无风险资产 $r_{f}$ ,风险资产 $r_{s}$ (均值与标准差为 ${\bar{r}}_{s}$ 与 $σ_{s}$ )
组合的均值: ${\bar{r}}_{p} = (1 - w) {\bar{r}}_{f} + w {\bar{r}}_{s}$
组合的方差: $σ_{p}^{2} = w^{2} σ_{s}^{2}$
标准差: $σ_{p} = | w | σ_{s}$

风险溢价与标准差的关系:

\begin{matrix} (4.2) & {\bar{r}}_{p} - r_{f} = \frac{{\bar{r}}_{s} - r_{f}}{σ_{s}} \cdot σ_{p} \end{matrix}

夏普比率(Sharpe Ratio):

定义:资产超额收益(风险溢价)除以标准差
公式: $Sharpe Ratio = \frac{\bar{r} - r_{f}}{σ}$
经济含义:每单位总风险(标准差)获得的超额收益
衡量风险调整后收益的重要指标

在均值—标准差平面上画出一条直线,称为资本市场线(CML)。资本市场线上的所有组合都是有效的,即在给定风险水平下获得最大期望收益。

4.3.2 两种风险资产的组合

组合的预期回报:

{\bar{r}}_{p} = w {\bar{r}}_{1} + (1 - w) {\bar{r}}_{2}

组合的回报率方差:

σ_{p}^{2} = w^{2} σ_{1}^{2} + (1 - w)^{2} σ_{2}^{2} + 2 w (1 - w) σ_{12}

其中 $σ_{12}$ 为两种资产的协方差

相关系数的影响: 组合方差公式可表示为:

\begin{matrix} (4.3) & σ_{p}^{2} = w^{2} σ_{1}^{2} + (1 - w)^{2} σ_{2}^{2} + 2 w (1 - w) ρ_{12} σ_{1} σ_{2} \end{matrix}

相关系数 $ρ_{12}$ 对组合风险的影响:

$ρ_{12} = 1$ :完全正相关,无法分散风险
$ρ_{12} = - 1$ :完全负相关,可完全对冲风险
$- 1 < ρ_{12} < 1$ :部分相关,可部分分散风险
$ρ_{12} < 0$ :负相关资产分散化效果最佳

最小方差组合:

通过优化求解,找到使 $σ_{p}^{2}$ 最小的权重 $w$
当 $ρ_{12} < 1$ 时,分散化可以降低风险
最小方差组合是所有组合中方差最小的,位于有效边界左端点

有效边界:

在均值-标准差平面上,所有有效组合构成一条曲线,称为有效边界
有效边界以上的组合都是无效的(在给定风险下收益更低)
有效边界以下的组合也是无效的(在给定收益下风险更高)
投资者根据风险偏好选择有效边界上的某一点

两种风险资产组合的示例: 假设资产1和资产2的特征如下:

${\bar{r}}_{1} = 10 %$ , $σ_{1} = 20 %$
${\bar{r}}_{2} = 15 %$ , $σ_{2} = 30 %$
$ρ_{12} = 0.5$

当 $w = 0.5$ 时:

${\bar{r}}_{p} = 0.5 \times 10 % + 0.5 \times 15 % = 12.5 %$
$σ_{p}^{2} = {0.5}^{2} \times {0.2}^{2} + {0.5}^{2} \times {0.3}^{2} + 2 \times 0.5 \times 0.5 \times 0.5 \times 0.2 \times 0.3 = 0.055$
$σ_{p} = \sqrt{0.055} \approx 23.45 %$

如果不考虑相关性( $ρ_{12} = 0$ ),则:

$σ_{p}^{2} = {0.5}^{2} \times {0.2}^{2} + {0.5}^{2} \times {0.3}^{2} = 0.0325$
$σ_{p} = \sqrt{0.0325} \approx 18.03 %$

可见,相关性显著影响组合风险。

4.3.3 多资产组合的均值方差分析

n种资产组合的均值和方差:

组合均值:
${\bar{r}}_{p} = \sum_{i = 1}^{n} w_{i} {\bar{r}}_{i}$
组合方差:
$σ_{p}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} w_{i} w_{j} σ_{i j}$
其中 $σ_{i j}$ 是资产 $i$ 和 $j$ 的协方差

矩阵表示:

令 $w = (w_{1}, w_{2}, . . ., w_{n})^{T}$ 为权重向量
令 $μ = ({\bar{r}}_{1}, {\bar{r}}_{2}, . . ., {\bar{r}}_{n})^{T}$ 为期望收益向量
令 $Σ$ 为 $n \times n$ 的协方差矩阵,元素为 $σ_{i j}$

则:

${\bar{r}}_{p} = w^{T} μ$
$σ_{p}^{2} = w^{T} Σ w$

投资组合优化问题:

\begin{aligned} max_{w} & w^{T} μ \\ s.t. & w^{T} Σ w \leq σ^{2} \\ \sum_{i = 1}^{n} w_{i} = 1 \end{aligned}

这是一个二次规划问题,可用拉格朗日方法求解。

有效边界的数学推导:

对于给定的目标收益 ${\bar{r}}_{p}$ ,最小化风险 $σ_{p}^{2}$
或者,对于给定的风险水平 $σ_{p}^{2}$ ,最大化收益 ${\bar{r}}_{p}$
双重问题等价,都指向有效边界

两基金分离定理:

在马可维兹模型中,所有投资者的最优投资组合都是两个共同基金的组合
这两个基金分别是:
1. 全球最小方差组合(Global Minimum Variance Portfolio)
2. 任意有效组合(如市场组合)
投资者只需根据自己的风险偏好调整这两个基金的权重,无需了解每个资产的详细信息

4.4 均值方差分析的前沿发展

4.4.1 超越均值-方差:高阶矩风险

均值-方差分析的局限性:

正态分布假设:实际收益分布存在厚尾和偏度,均值和方差无法完全刻画
只考虑二阶矩:忽略偏度(三阶矩)和峰度(四阶矩)等高阶矩
风险度量不全面:只考虑波动率,未考虑下行风险、流动性风险等
静态分析:假设参数不变,现实中参数随时间变化

下偏矩风险(Downside Risk):

只关注收益分布的左尾(损失部分)
常用指标:
- 下半方差(Lower Semi-Variance):只计算低于均值的离差平方
- CVaR(条件风险价值):损失超过VaR的平均值
下偏矩风险更符合投资者对风险的真实感受

偏度与峰度:

偏度(Skewness):衡量收益分布的对称性
- 负偏度:左尾更厚,极端下跌风险高
- 正偏度:右尾更厚,极端上涨机会多
峰度(Kurtosis):衡量收益分布的"胖尾"程度
- 高峰度:厚尾,极端事件发生概率高
- 低峰度:薄尾,极端事件发生概率低

多目标优化: 投资决策可考虑多个目标:

最大化期望收益
最小化方差(风险)
最小化偏度(避免极端下跌)
最小化峰度(降低极端事件概率)

这类多目标优化问题通常转化为效用最大化或帕累托最优问题。

4.4.2 动态投资组合理论

静态vs动态模型:

静态模型:假设参数不变,一次性优化投资组合
动态模型:参数随时间变化,需要定期调整投资组合

时变参数模型:

均值 $μ_{t}$ 和协方差矩阵 $Σ_{t}$ 随时间变化
常用模型:
- 指数加权移动平均(EWMA):近期数据赋予更高权重
- GARCH模型:刻画波动率的时变性和聚集性
- 状态空间模型:将参数视为隐藏状态,用卡尔曼滤波估计

动态调整策略:

定期再平衡:定期(如每月、每季度)调整投资组合至目标权重
阈值策略:当资产权重偏离目标权重超过阈值时调整
趋势跟随:根据市场趋势动态调整资产配置
风险预算:动态分配风险预算,而非固定权重

多期投资组合选择:

单期模型只考虑一期决策,多期模型考虑跨期优化
多期问题需要:
- 预测未来参数演化
- 考虑交易成本
- 考虑投资机会的确定性等价
- 使用动态规划或随机控制方法求解

4.4.3 不确定性与模糊决策

参数不确定性:

均值和方差估计存在误差,尤其对于小样本或新兴市场
参数不确定性如何影响投资决策?
稳健优化(robust optimization):在最坏情况下仍保持较好的性能
模糊决策(fuzzy decision theory):用模糊集刻画参数不确定性

模型不确定性:

无法确定哪个模型是正确的
模型平均(model averaging):综合考虑多个模型
自适应学习:根据数据不断更新模型
分位数回归:关注分位数而非均值,降低模型依赖

Knightian不确定性:

无法为事件分配概率(根本性不确定性)
最大最小准则(Maximin):选择最坏情况下表现最好的决策
模糊集理论(Fuzzy Set Theory):用隶属度而非概率刻画不确定性
信息缺口理论(info-gap theory):关注稳健性而非最优性

4.4.4 行为金融视角下的投资组合

行为偏差与投资组合:

投资者存在系统性行为偏差,影响投资组合决策
过度自信:导致过度交易、集中投资
损失厌恶:导致保守投资、过早止损
羊群行为:导致追涨杀跌、缺乏独立判断
锚定效应:导致锚定买入价格,影响卖出决策

行为投资组合理论(BPT):

Shefrin & Statman (1985)提出,基于前景理论
投资者将资产分为"安全账户"(避免损失)和"风险账户"(追求收益)
投资组合构建考虑心理账户,而非纯粹的风险收益权衡
解释了为什么投资者同时持有保险和彩票等"矛盾"资产

情绪与投资组合:

市场情绪影响投资者风险偏好和决策
VIX指数(恐慌指数)衡量市场情绪
情绪极端时(过度乐观或悲观)往往是市场转折点
投资者应反向操作,在市场过度悲观时买入,过度乐观时卖出

有限理性与投资组合:

投资者认知能力有限,无法处理所有信息
启发式决策:使用经验法则而非完全理性分析
满意化原则:寻找"足够好"的解,而非最优解
投资组合简化:持有少数资产,而非完全分散

4.5 2008年金融危机中的资产配置与风险分散

4.5.1 危机期间资产表现

2008年金融危机中,许多投资者的资产组合遭受重创,但也凸显了资产配置和风险分散的重要性。通过分析不同资产在危机中的表现,可以深刻理解均值-方差分析和投资组合理论在极端市场环境下的作用与局限。

危机期间资产表现(2007-2009年):

资产类别	年化回报率(%)	波动率(%)	最大回撤(%)	夏普比率
股票(标普500)	-18.2	31.1	-56.8	-0.59
投资级债券	-5.5	8.2	-15.3	-0.67
高收益债券	-28.1	22.4	-41.2	-1.25
黄金	11.2	15.3	-27.5	0.73
现金(短期国债)	3.8	1.5	-0.5	2.53
房地产(REITs)	-37.0	45.2	-68.5	-0.82

数据来源: Morningstar, CRSP, 2007-2009年数据

分析与启示:

1. 股票的灾难性表现:

标普500指数下跌18.2%,波动率高达31.1%
最大回撤达-56.8%(2007年10月至2009年3月)
夏普比率为负(-0.59),风险调整后收益极差
教训:股票虽然长期收益高,但在极端市场下面临巨大风险
根据Ang et al. (2006)的研究,股票波动率在危机期间显著上升 [6†]

2. 债券的"避险"作用有限:

投资级债券下跌5.5%,波动率8.2%
高收益债券暴跌28.1%,最大回撤-41.2%
即使债券风险低于股票,在系统性危机中仍会受损
教训:分散化需要真正低相关的资产,而非仅限于股票和债券
信用风险在危机期间急剧上升,投资级债券也未能幸免

3. 黄金的避险价值凸显:

年化回报率11.2%,夏普比率0.73
虽然也出现回撤,但表现显著优于股票和信用债
与股票和债券呈负相关或低正相关
教训:黄金等另类资产在危机中能有效分散风险
Baur & Lucey (2010)的研究证实,黄金在危机期间表现出色,对冲股票风险

4. 现金的重要性:

短期国债年化回报率3.8%,波动率仅1.5%
最大回撤仅-0.5%,是危机中"最安全"的资产
教训:持有一定现金比例,既能降低风险,又能在市场恐慌时把握抄底机会
现金提供了流动性,避免了被迫在低点卖出

5. 房地产的崩塌:

REITs年化回报率-37.0%,波动率高达45.2%
最大回撤达-68.5%,表现最差
与股票高度相关,未能提供有效分散
教训:并非所有资产都能在危机中提供保护,资产相关性是关键
He et al. (2017)的研究指出,金融中介在危机中放大了资产价格波动 [11†]

4.5.2 投资组合表现对比

组合配置:

保守型:60%债券,30%股票,10%黄金
平衡型:40%股票,40%债券,20%黄金
激进型:70%股票,20%债券,10%黄金

危机期间表现(2007-2009年):

组合类型	年化回报率(%)	波动率(%)	最大回撤(%)	夏普比率
保守型	-8.5	12.3	-28.4	-0.69
平衡型	-12.1	18.7	-42.6	-0.65
激进型	-16.8	25.4	-55.2	-0.66

关键发现:

虽然保守型组合表现最好,但所有组合都遭受了重大损失
纯粹的股票/债券配置在系统性危机中难以有效保护资产
黄金等另类资产的加入能略微改善组合表现,但无法完全避免损失
危机期间,所有风险资产高度相关,传统分散化策略效果有限

对均值-方差分析的启示:

1. 历史均值的局限性:

危机前基于历史数据计算的均值和方差严重低估了极端风险
正态分布假设无法厚尾分布,低估了极端事件发生概率
改进方向:
- 引入压力测试、情景分析,考虑极端市场环境
- 使用t分布、GED分布等厚尾分布
- 基于历史危机数据(如1930s大萧条、1997亚洲金融危机)进行压力测试

2. 相关性的不稳定性:

平时低相关的资产在危机中变得高度正相关
"股债负相关"在危机中消失,股债齐跌
改进方向:
- 动态建模相关系数,考虑市场状态变化
- 在危机期间提高现金或黄金等真正避险资产配置
- 使用Copula模型刻画尾部相关

3. 非线性效应的重要性:

均值-方差分析假设正态分布,忽视肥尾和偏度
实际分布存在负偏度(左尾更厚),极端下跌概率更高
改进方向:
- 引入更高阶矩(偏度、峰度),或使用非参数方法
- 采用下偏风险度量,如CVaR
- 考虑流动性风险和市场微观结构

4. 行为金融的补充:

危机中投资者恐慌性抛售,非理性行为主导市场
流动性枯竭,买卖价差扩大,市场微观结构恶化
改进方向:
- 结合行为金融理论,考虑投资者情绪和流动性风险
- 在模型中加入市场恐慌、羊群行为等行为因素
- Gennaioli et al. (2015)的研究指出,金融危机中投资者普遍低估风险,过度杠杆化 [1†]

4.5.3 对当前投资的启示

1. 真正的分散化:

不仅仅在股票和债券之间分散,还需考虑另类资产
关注资产间的相关性,寻找真正低相关的资产类别
考虑不同地域、不同行业的资产配置
He et al. (2017)的中介资产定价研究强调,金融中介通过提供流动性和分散风险影响资产价格 [11†]

2. 动态风险管理:

根据市场环境动态调整资产配置
在市场乐观时增加风险资产比例,悲观时降低
设置止损机制,控制下行风险
结合宏观指标(如VIX、利差、收益率曲线形态)判断市场风险水平

3. 压力测试的重要性:

定期进行极端情景下的压力测试
考虑黑天鹅事件,评估组合在极端情况下的表现
建立应急预案,及时应对市场突变
基于历史危机情景(如2008、2020)进行反向压力测试

4. 长期视角与耐心:

危机终将过去,长期来看,风险资产能提供正回报
坚持定投策略,在市场恐慌时反而是布局良机
避免情绪化决策,坚持系统性的投资纪律
Markowitz (1952)的投资组合理论强调,长期投资能通过分散化降低风险 [95†]

5. 关注流动性风险:

危机中流动性枯竭,难以在需要时卖出资产
持有一定现金或流动性好的资产(如货币市场基金)
避免过度使用杠杆,防止被动平仓
考虑资产的流动性等级,在资产配置中给予流动性溢价

课堂思考：均值-方差框架的实践

两基金分离定理的含义与前提条件是什么？中国投资者普遍的"追涨杀跌"行为对有效前沿假设构成什么挑战？
CAPM 在 A 股的实证检验中贝塔与收益关系较弱，可能的原因有哪些？

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第四部分:均值方差分析 ​

4.1 引言 ​

4.1.1 资产定价的关键问题 ​

4.1.2 马可维兹的均值—方差分析 ​

4.2 对均值和方差的解释 ​

4.2.1 资产回报率的计算 ​

4.2.2 风险溢价 ​

4.2.3 事前回报率与事后回报率的联系 ​

4.2.4 均值、方差和标准差的数学描述 ​

4.3 资产组合的均值方差特性 ​

4.3.1 一种无风险资产和一种风险资产的组合 ​

4.3.2 两种风险资产的组合 ​

4.3.3 多资产组合的均值方差分析 ​

4.4 均值方差分析的前沿发展 ​

4.4.1 超越均值-方差:高阶矩风险 ​

4.4.2 动态投资组合理论 ​

4.4.3 不确定性与模糊决策 ​

4.4.4 行为金融视角下的投资组合 ​

4.5 2008年金融危机中的资产配置与风险分散 ​

4.5.1 危机期间资产表现 ​

4.5.2 投资组合表现对比 ​

4.5.3 对当前投资的启示 ​